先看一个简单例子，这样一组复式投注：31/31/31/3/3/3/3/3/3/3/3/3/3，展开可得到以下 8 个单注：
13333333333333
23313333333333
33133333333333
43113333333333
51333333333333
61313333333333
71133333333333
81113333333333
购买它们共需要 16 元。假设正确结果就在这 8 注里，而只花 4 元， 有没有办法保证中奖? 答案是肯定的，买第一和第八注，便可保证只用 4 元至少能中二等奖，而中一等奖的可能性为 25%。在本例中，若买第二和第七注，或者第三和第六注，或者第四和第五注，也可保证能中二等奖，但如随便选择其他两注， 就无法保证能中二等奖。
这其中蕴含的就是旋转矩阵的原理。如何找到最大的压缩比， 即怎样用最少的注数， 覆盖原来的复式， 用旋转矩阵进行缩水所要解决的正是这个问题。
从数学上，一个复式投注单假设有 T 个三选，S 个双选，其中 T+S<=13，即单选的场次为 13-S-T 个，所有的投注单构成了一个集合 K(T,S)，共有 3 的 T 次方乘以 2 的 S 次方个元素，每一个元素可以表示成一个 13 位长的三重码，在组合数学中已经证明存在至少一个 K(T,S)的子集 C(T,S)，每一个 K(T,S)中的元素，都存在一个 C(T,S)中的元素，他们之间仅有 1 位的差别，即所谓的海明距离(Hamming Distance)等于 1。
满足上述条件的最小子集 C(T,S)称为问题的一个最优解。这个解就是一般意义上中 13 保 12 的旋转矩阵，也就是本书中的所有旋转矩阵都属于这种中 13 保 12 的旋转矩阵。
还有一些广义的旋转矩阵，或者是提高保中的注数，或者是减少保中的场数。广义的旋转矩阵是这样定义的：一个复式投注单假设有 T 个三选，S 个双选，其中 T+S<=13，即单选的场次为 13-S-T 个，所有的投注单构成了一个集合 K(T,S)，共有 3 的 T 次方乘以 2 的 S 次方个元素，每一个元素可以表示成一个 13 位长的三重码，在组合数学中已经证明存在至少一个 K(T,S)的子集 C(T,S)，每一个 K(T,S)中的元素，都存在 m 个 C(T,S)中的元素，他们之间仅有 n 位的差别。满足上述条件的最小子集 C(T,S)称为问题(T,S,n,m)的一个最优解。
广义旋转矩阵(T,S,n,m)的含义是 13 场比赛(当然可以是 13 场只是特殊情况)，其中 T 个三选，S 个双选，13- S-T 个单选，如果满足 13 场比赛的结果包含在这 T 个三选，S 个双选，13-S-T 个单选之中，那么按照广义旋转矩阵(T,S,n,m)组合出来的投注中可以保证至少有 m 注对 13-n 场以上。
显然，一般的旋转矩阵只是其中很特殊的一种，相当于 n=1,m=1 的情形。这种情况下，只能保证有一注对 12 场以上。
我国足彩目前只有二等奖没有三等奖，只有对 12 场以上才有奖。因此暂不考虑参数所有 n>1 的旋转矩阵。另外，从成本考虑，如果 m>1，相应的成本就要大幅提高(略小于 m 倍)，因此一般足彩缩水软件也暂不提供所有 m>1 的旋转矩阵。
从定义上来看，旋转矩阵似乎就是如何排列来用最小的注数覆盖的问题，看起来相当简单容易理解，似乎也比较好解决。但是如果手工来构造一种排列来达到这种目的时，就会发现出人意料的艰难。
实际上，旋转矩阵属于集合覆盖问题(SCP)的一种，相对于一般的优化问题来说，它并没有固定的算法，因此显得相当困难。不过足彩涉及的旋转矩阵相对于乐透的旋转矩阵来说要简单一些。
13 场次的简单旋转矩阵到现在几乎都完全解决了，只有少量的几个旋转矩阵近年来有所更新(如 2002 年更新的 3 场三选 9 场双选的旋转矩阵)。而乐透的旋转矩阵到现在仍有许多没有优化，依然不停的有人刷新最小注数的纪录。
根据《足球彩票旋转矩阵》一书整理
